公式集-基礎数学-1 - 高校数学備忘録

題名の通りです。リストアップしました。

複素数と共役複素数の和と積: $α = a + b i$ のとき、; $α + \overline{α} = 2 a, α \overline{α} = a^{2} + b^{2}$
展開公式(II): ${(a \pm b)}^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}$; $a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp a b + b^{2})$
剰余の定理: 整式 $P (x) = (x - α) Q (x) + R$ のとき; $P (α) = R$
因数定理: 整式 $P (α) = 0$ のとき; $P (x) = (x - α) Q (x)$; ( $α$ は $P (x)$ の定数項の約数に $\pm$ をつけた数字のうちのどれかである。); また、次のように解釈することもできる。; 多項式 $f (x)$ が $(x - a)$ を因数に持つ $\Leftrightarrow$ $f (a) = 0$
二次方程式の解の公式: $a x^{2} + b x + c = 0$ のとき; $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
二次方程式の解と係数の関係: $a x^{2} + b x + c = 0$ の二つの解を $α, β$ としたとき; $α + β = - \frac{b}{a}, α β = \frac{c}{a}$
二次式の因数分解: $a x^{2} + b x + c = 0$ の二つの解を $α, β$ としたとき; $a x^{2} + b x + c = a (x - α) (x - β)$
相加相乗平均の不等式: $a > 0$ , $b > 0$ のとき; $a + b ≧ 2 \sqrt{a b}$
三角関数の基本公式(I): $\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1$
三角関数の基本公式(II): $\tan^{2} θ + 1 = \frac{1}{\cos^{2} θ}$
三角関数の加法定理: $\sin (α \pm β) = \sin α \cos β \pm \cos α \sin β$; $\cos (α \pm β) = \cos α \cos β \mp \sin α \sin β$
２倍角の公式: 三角関数の加法定理から導けるため省略
半角の公式: 三角関数の加法定理から導けるため省略
積和の公式: 三角関数の加法定理から導けるため省略
和積の公式: 積和の公式から導けるため省略

それぞれの文字の部位
小文字は辺
大文字は内角

正弦定理: $△ A B C$ の外接円の半径を $R$ とすると; $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R$
余弦定理: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$; $\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$
三角形の面積: $S = \frac{1}{2} b c \sin A$
ヘロンの公式: $s = \frac{a + b + c}{2},$; $S = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)}$
数直線上の内分点の座標: 数直線上の $2$ 点 $A (a)$ , $B (b)$ に対して、線分 $A B$ を $m : n$ に内分する点の座標 $x$ は; $x = \frac{n a + m b}{m + n}$
三角形の重心: $(x_{1}, y_{1})$ , $(x_{2}, y_{2})$ , $(x_{3}, y_{3})$ を頂点とする三角形の重心の座標は; $(\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3}, \frac{y_{1} + y_{2} + y_{3}}{3})$
2点間を通る直線の方程式: $2$ 点 $(x_{1}, y_{1})$ , $(x_{2}, y_{2})$ を通る直線は; $y - y_{1} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} (x - x_{1})$
円の方程式: 中心 $C (a, b)$ からの距離が $r$ である円の方程式は; ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$; 円の方程式
楕円の方程式: 標準形(中心が原点 $O$ であるときの楕円の方程式)は; $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$; 焦点 $F (c, 0)$ , $F^{'} (- c, 0)$ からの距離の和が $|2 a|$ である楕円の方程式には、以下の式が成り立たなくてはならない。; $|c| < |a|$ $a^{2} - b^{2} = c^{2}$; またそれは、長径が $|2 a|$ 、短径が $|2 b|$ の楕円の方程式であり、以下の式が成り立たなくてはならない。; $|b| < |a|$; 楕円の方程式
$0 < b < a$; 焦点 $F (c, 0)$ , $F^{'} (- c, 0)$ からの距離の和が $|2 b|$ である楕円の方程式には、以下の式が成り立たなくてはならない。; $|c| < |b|$ $a^{2} - b^{2} = c^{2}$; またそれは、長径が $|2 b|$ 、短径が $|2 a|$ の楕円の方程式であり、以下の式が成り立たなくてはならない。; $|a| < |b|$; 楕円の方程式
$0 < a < b$
双曲線の方程式: 焦点 $F (c, 0)$ , $F^{'} (- c, 0)$ からの距離の差が $|2 a|$ である双曲線の方程式は; $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$; また、以下の式が成り立たなくてはならない。; $|a| < |c|$ $a^{2} + b^{2} = c^{2}$; 漸近線は; $y = \frac{b}{a} x, y = - \frac{b}{a} x$; 双曲線の方程式
$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$; 焦点 $F (c, 0)$ , $F^{'} (- c, 0)$ からの距離の差が $|2 b|$ である双曲線の方程式は; $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = - 1$; また、以下の式が成り立たなくてはならない。; $|b| < |c|$ $a^{2} + b^{2} = c^{2}$; 漸近線は; $y = \frac{b}{a} x, y = - \frac{b}{a} x$; 双曲線の方程式
$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = - 1$
放物線の方程式: 焦点 $F (p, 0)$ 、準線 $l ∶ x = - p$ からの距離が等しい放物線の方程式は; $y^{2} = 4 p x$; 放物線の方程式
$y^{2} = 4 p x$
焦点 $F (0, p)$ 、準線 $l ∶ y = - p$ からの距離が等しい放物線の方程式は: $x^{2} = 4 p y$; 放物線の方程式
$x^{2} = 4 p y$
同じ種類のものを含む場合の並べ方の総数: $n$ 個のものの中に、同じものが $p$ 個, $q$ 個, $\dots$ , $r$ 個ずつあるとき、これらを $1$ 列に並べる場合の数は; $\frac{n!}{p! \cdot q! \cdot \dots \cdot r!}$
組み合わせの性質: ${}_{n}C_{n - r} = {}_{n}C_{r}$ ${}_{n - 1}C_{r - 1} + {}_{n - 1}C_{r} = {}_{n}C_{r}$
二項定理: ${(a + b)}^{2} = {}_{n}C_{0} a^{n} + {}_{n}C_{1} a^{n - 1} b + \dots + {}_{n}C_{r} a^{n - r} b^{r} + \dots + {}_{n}C_{n} b^{n}$

SVG画像を使ってみました。
しかもアプリを一切使わず直接打ち込みました。
おかげでSVGに関してプロ並みになったのではないかと思っています。(井の中の蛙ですが)
これからSVGでアニメーションも加えていけたらなと思っています。
~~因みに、双曲線はベジェ曲線では表せないのですべての点座標をJavascriptで出力しています。~~
javascriptでsvgを操作するとiOSで表示できないという問題があったので、すべての点座標を打ち込みました。。。

ここまででかなり字を打ったのでこのページは目次のみとします。導出は別ぺーじにて。

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