公式集-基礎数学-2 - 高校数学備忘録

続きです。ここでは導出の一部を書きます。

1.数と式の計算

複素数と共役複素数の和と積

公式: 複素数と共役複素数の和と積

$α = a + b i$ のとき、

α + \overline{α} = 2 a

α \overline{α} = a^{2} + b^{2}

この公式の重要なところは虚数単位が消えるというところです。(まあ当たり前ではあるが)
特に下の式は、非負実数になるます。

導出を以下に示します。(果たしてこの導出に存在価値はあるのか)

α + \overline{α} = (a + b i) + (a - b i) = 2 a

α \overline{α} = (a + b i) (a - b i) = a^{2} - b^{2} i^{2} = a^{2} + b^{2}

展開公式(II)

公式: 展開公式(II)

以下の式は複号同順である。

{(a \pm b)}^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}

a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp a b + b^{2})

導出を以下に示します。

\begin{array}{rcl} 左辺 & = & {(a \pm b)}^{3} \\ = & (a \pm b) {(a \pm b)}^{2} \\ = & (a \pm b) (a^{2} \pm 2 a b + b^{2}) \\ = & a^{3} \pm 2 a^{2} b + a b^{2} \pm a^{2} b + 2 a b^{2} \pm b^{3} \\ = & a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3} \\ = & 右辺 \end{array}

\begin{array}{rcl} 右辺 & = & (a \pm b) (a^{2} \mp a b + b^{2}) \\ = & a^{3} \mp a^{2} b + a b^{2} \pm a^{2} b - a b^{2} \pm b^{3} \\ = & a^{3} \pm b^{3} \\ = & 左辺 \end{array}

剰余の定理

公式: 剰余の定理

整式 $P (x) = (x - α) Q (x) + R$ のとき

P (α) = R

以下に導出を示します。

P (α) = (α - α) Q (α) + R = R

因数定理

公式: 因数定理

整式 $P (α) = 0$ のとき

P (x) = (x - α) Q (x)

以下に導出を示します。

剰余の定理より、 $P (α) = 0 \Leftrightarrow R = 0$

∴ P (x) = (x - α) Q (x)

二次方程式の解の公式

公式: 二次方程式の解の公式

$a x^{2} + b x + c = 0$ のとき

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

導出を以下に示します。

\begin{array}{rcl} a x^{2} + b x + c & = & 0 \\ a x^{2} + b x & = & - c \\ x^{2} + \frac{b}{a} x & = & - \frac{c}{a} \\ (x^{2} + 2 \cdot \frac{b}{2 a} x + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}) - \frac{b^{2}}{4 a^{2}} & = & - \frac{c}{a} \\ {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} & = & \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} \\ x + \frac{b}{2 a} & = & \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x & = & \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{array}

二次方程式の解と係数の関係

公式:二次方程式の解と係数の関係

$a x^{2} + b x + c = 0$ の二つの解を $α, β$ としたとき

α + β = - \frac{b}{a}

α β = \frac{c}{a}

証明1: 二次方程式の解の公式による証明

α + β = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} + \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = - \frac{b}{a}

\begin{array}{rcl} α β & = & \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \cdot \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ = & \frac{{(- b)}^{2} - {\sqrt{b^{2} - 4 a c}}^{2}}{4 a^{2}} \\ = & \frac{b^{2} - b^{2} + 4 a c}{4 a^{2}} \\ = & \frac{c}{a} \end{array}

証明2: 因数定理による証明

二次方程式 $a x^{2} + b x + c$ の解を $x = α, β$ とするとき、因数定理より、次のように書ける。

\begin{array}{rcl} a x^{2} + b x + c & = & A (x - α) (x - β) \\ = & A \{x^{2} - (α + β) x - α β\} \\ = & A x^{2} - A (α + β) x + A α β \end{array}

係数比較法より、

\{\begin{array}{rcll} a & = & A & ・・・① \\ b & = & - A (α + β) & ・・・② \\ c & = & A α β & ・・・③ \end{array}

①, ②より

\begin{array}{rcl} b & = & a (α + β) \\ α + β & = & - \frac{b}{a} \end{array}

①, ②より

\begin{array}{rcl} c & = & a α β \\ α β & = & \frac{c}{a} \end{array}

二次式の因数分解

公式: 二次式の因数分解

$a x^{2} + b x + c = 0$ の二つの解を $α, β$ としたとき

a x^{2} + b x + c = a (x - α) (x - β)

導出を以下に示します。

二次方程式の解と係数の関係を利用する

\begin{array}{rcl} a x^{2} + b x + c & = & a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}) \\ = & a (x^{2} - (α + β) x + α β) \\ = & a (x - α) (x - β) \end{array}

2.集合と論理

相加相乗平均の不等式

公式: 二次方程式の因数分解

$a > 0$ , $b > 0$ のとき

a + b ≧ 2 \sqrt{a b}

この導出方法は２つあります。個人的に２つ目がわかりやすくて好きです。

証明1: 計算

\begin{array}{rcl} a + b & ≧ & 2 \sqrt{a b} \\ a + b - 2 \sqrt{a b} & ≧ & 0 \\ {\sqrt{a}}^{2} - 2 \sqrt{a b} + {\sqrt{b}}^{2} & ≧ & 0 \\ {(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} & ≧ & 0 \end{array}

よって与式は成り立つ。

\begin{array}{rcl} {(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} & = & 0 \\ \sqrt{a} - \sqrt{b} & = & 0 \\ \sqrt{a} & = & \sqrt{b} \\ a & = & b \end{array}

よって等式は $a = b$ の時だけ成り立つ。

証明2: 図式化

これです。

【相加平均と相乗平均】 pic.twitter.com/fks6AgIQMV
— 数学を愛する会 (@mathlava) August 26, 2019

$\frac{x + y}{2}$ は直径 $x + y$ の半分なのでそのような式になります。

青線の $\sqrt{a b}$ については以下の通りです。

タレスの定理より、 $∠ A C B = 90 °$ ・・・①
①より、 $∠ A D C = ∠ A C B$ ・・・②
$∠ A$ は共通・・・③
②③より、 $△ A D C ∽ △ A C B$ ・・・④
①より、 $∠ B D C = ∠ A C B$ ・・・⑤
$∠ B$ は共通・・・⑥
⑤⑥より、 $△ C D B ∽ △ A C D$ ・・・⑦
④⑦より、 $△ A D C ∽ △ C D B$

よって、

\begin{array}{rcl} x ∶ C D & = & C D ∶ y \\ {C D}^{2} & = & x y \\ C D & = & \sqrt{x y} \end{array}

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