公式集-基礎数学-3 - 高校数学備忘録

3.三角関数

三角関数の基本公式

公式: 三角関数の基本公式(I)

\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1

この法則は三平方の定理から導き出せます。(その逆も然り)

上のように、半径とx座標、y座標は常に直角三角形を作り、三平方の定理が成り立ちます。

では下で、三平方の定理の証明方法を紹介します。

図の、一辺が $a + b$ の正方形の面積 $S$ を二通りの方法で表す。

一辺が $a + b$ の正方形だから
$S = {(a + b)}^{2}$
一辺が $c$ の正方形の面積と、4つの直角三角形の面積の和だから
$S = c^{2} + 4 \cdot \frac{1}{2} a b = c^{2} + 2 a b$

よって、

\begin{array}{rcl} {(a + b)}^{2} & = & c^{2} + 2 a b \\ a^{2} + 2 a b + b^{2} & = & c^{2} + 2 a b \\ a^{2} + b^{2} & = & c^{2} \end{array}

高校数学の美しい物語というWEBサイトではこのほかに2つの証明方法を掲載していますので見たかったらこちらを参考にしてください。

僕はこの証明を見て、「こんな簡単な式にこれほどの証明が果たして必要だろうか。」と思っており、高１の時にdesmosを使って三平方の定理を原理的に追及しようとしました。(そのおかげでテストがズタズタになったわけですが)

すると分かったことがあって、 $(\cos θ \sin θ, \sin^{2} θ)$ (単位円の軌跡を描く $(\sin θ, \cos θ)$ の座標に $\sin θ$ をかけたもの) の軌跡が下のように、半円を描くことがわかったんです。

● $(\cos θ, \sin θ)$

● $(\cos θ \sin θ, \sin^{2} θ)$

つまり、次のような式が成り立つわけです。

\sin^{2} θ = \frac{1}{2} \sin (2 θ - \frac{π}{2}) + \frac{1}{2}

なぜ右辺はこのような式になるのか?

まず、軌跡が半円になっているのだから $\sin$ の係数は $\frac{1}{2}$ 。

● の一回転につき、● が２回転するから $θ$ の係数は $2$ 。

● が $θ = 0$ のとき、● は $θ = - \frac{π}{2}$ 。

軌跡の中心が $y = \frac{1}{2}$ 。

これらが組み合わさり、右辺のような式になる。

上の式の証明をします。

証明1: 計算

$\sin (θ - \frac{π}{2}) = - \cos θ$ だから

\frac{1}{2} \sin (2 θ - \frac{π}{2}) + \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \cos 2 θ + \frac{1}{2}

2倍角の公式より $\cos 2 θ = 1 - 2 \sin^{2} θ$ だから

\begin{aligned} = & - \frac{1}{2} (1 - 2 \sin^{2} θ) + \frac{1}{2} \\ = & - \frac{1}{2} + \sin^{2} θ + \frac{1}{2} \\ = & \sin^{2} θ \end{aligned}

証明2: 図式化

$B$ の $y$ 座標を $- \sin θ$ とする。

仮定より $∠ A O B = ∠ C P O = 2 θ$ ・・・①

$O A ∶ O B = P C ∶ P O$ ・・・②

①②より、 $△ A O B ∽ △ C P O$ ・・・③

仮定より $P C ∶ O A = 1 ∶ 2$ ・・・④

③④より、 $C O ∶ A B = 1 ∶ 2$ ・・・⑤

仮定より $A B = 2 \sin θ$ ・・・⑥

⑤⑥より、 $O C = \sin θ$ ・・・⑦

⑦より、半径 $r = O C = \sin θ$ とおくと、

$C$ の $y$ 座標 $= r \sin θ = \sin^{2} θ$

よって成り立つ。

では、 $(\cos θ \sin θ, \cos^{2} θ)$ ではどうなるかというと、

● $(\cos θ, \sin θ)$

● $(\cos θ \sin θ, \sin^{2} θ)$

● $(\cos θ \sin θ, \cos^{2} θ)$

次のような式が成り立ちます。

\cos^{2} θ = \frac{1}{2} \sin (- 2 θ + \frac{π}{2}) + \frac{1}{2}

上の式の証明は省略します。

上のアニメーションを見ればわかるように、● と ● は、 $y = \frac{1}{2}$ を対称軸として、線対称に動いています。

つまり、 $\sin^{2} θ$ と $\cos^{2} θ$ の平均は $\frac{1}{2}$ だということです。

もうわかると思いますが、その和は $1$ になります。

計算では次のようになります。

\begin{aligned} \frac{1}{2} \sin (2 θ - \frac{π}{2}) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sin (- 2 θ + \frac{π}{2}) + \frac{1}{2} \\ = & \frac{1}{2} \sin (2 θ - \frac{π}{2}) - \frac{1}{2} \sin (2 θ - \frac{π}{2}) + 1 \\ = & 1 \end{aligned}

実際にDESMOSで表示してみました。実際にDESMOSに移動していろいろ遊んでみたい方はこちらをクリックしてください。

これを見たらわかるように、DESMOSってhtmlへの埋め込みが可能なんですね。今までSVGで頑張ってた僕はなんなんでしょうか。

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